ESPACIO Y TIEMPO EN MECANICA CUANTICA

INTRODUCCION:

El escenario donde se desarrolla la Física y la Teoría de la Gravitación Universal newtoniana, Newton la descubre cuando tan sólo tenía 19 años y 21 años más tarde la da a conocer y la construye matemáticamente en una Geometría que el matemático griego Euclides creó 300 años a. C.

La Geometría euclidiana como comúnmente se le llama, es una Geometría plana y en ella Newton construye sus teorías físicas y matemáticas donde los conceptos de Espacio y Tiempo son absolutos.

En la teoría Espacial de la Relatividad de Einstein dada a conocer en 1905, aparecen los conceptos de Espacio y Tiempo newtonianos, fundidos en Espacio-Tiempo relativos ya no absolutos y es de cuatro dimensiones, donde la cuarta coordenada es el tiempo. Este Espacio-Tiempo es un Espacio de Minkouski.

Sin embargo, en la Teoría General de la Relatividad que Einstein publicó en 1916, la construye matemáticamente en una Geometría creada por el matemático alemán Riemann, y es una Geometría donde el Espacio es Curvo.

Aquí es importante decir que una Geometría no puede ser más verdadera que la otra, por ejemplo la Geometría de Euclides es más cómoda en la Física newtoniana y la Teoría Especial de la Relatividad se desarrolla en un Espacio de Minkoski de cuatro dimensiones, mientras que la Geometría de Riemann es más cómoda para describir algunos fenómenos físicos en la Teoría General de la Relatividad o Teoría de la Gravitación de Einstein.

Einstein lo que hizo en Relatividad General encontró más cómodo no crear una Geometría, sino usar la Geometría de Riemann diferente de la euclidiana no por cambiar sus hábitos, sino para adoptar sus impresiones.

Ahora surge la pregunta: ¿ En qué Espacio y Tiempo la Teoría de la Mecánica Cuántica describe los fenómenos microfísicos?

La respuesta a esta pregunta es posible darla a continuación:

Considérense objetos materiales asociados a ondas que parten del punto P₁(x_A,y_A,z_A), de tal manera que un observador colocado en A en el instante t_A mide el máximo de la amplitud de la onda, de modo que las probabilidades por unidad de longitud y por unidad de tiempo de medir éstas en el instante t_A están dadas por las expresiones siguientes:

P1(xA,tA)dxA = *(xA,tA)(xA,tA)dxA	. . . . . . . . . . . . . . . . (1)
Pt(XA,tA)dtA =*(xA,tA)(xA,tA)dtA

Donde Ψ(x_A,t_A) es la función de onda y Ψ* es la compleja conjugada de Ψ.

De acuerdo con la hipótesis de Max Born Ψ(x_A,t_A)Ψ*(x_A,t_A) es la probabilidad de que las partículas asociadas a las funciones de onda se mide en cualquier punto de A.

También de acuerdo con Born, si se altera la función de onda Ψ por un factor numérico el cual hace que: ∫Ψ*Ψdx_A, donde dx_A = (dx, dy, dz) tal que:

∫Ψ*Ψdx, dy, dz = 1 . . . . . . . . . . . (2)

Cuando la integral (2) se toma sobre todo el espacio en donde se encuentra la partícula asociada a la onda, la probabilidad de que dicha partícula se encuentre en un elemento de volumen dx, dy, dz en el punto P(x,y,z) de A en el tiempo t_A, es:

Probabilidad = *(x, y, z) (x, y, z) dx dy dz

Todos los físicos cuánticos están de acuerdo de que la probabilidad de que una partícula asociada a una onda es proporcional al valor Ψ*(x, y, z) Ψ(x, y, z) dx dy dz en ese punto; en otras palabras, si en el experimento de medir el máximo de la amplitud de la onda en el punto A, se repite muchas veces bajo las mismas condiciones, el promedio de medir esos valores que caracterizan la posición

de la amplitud de la onda, en el promedio de valores t_A, se formula de la manera siguiente:

Sea el valor de expectación de las coordenadas del punto P (x,y,z) de A y, sea t_A el valor de expectación; es evidente que y , están dadas por las expresiones siguientes:

= X_A p₁ (x_A,t_A)dx_A

= t_A p_t (x_A,t_A)dt_A

Usando las expresiones (1) en y resulta:

= *(xA,tA)xA (xA,tA)dxA	……………(3)
= *(xA,tA)tA (xA,tA)dtA

Considerando que la probabilidad de que la partícula asociada a la onda llegue a otro punto p(x_B, y_B, z_B) de B y efectuando mediciones de la amplitud máxima de la onda en ese punto, de manera que las probabilidades por unidades de longitud de tiempo de que llegue a ese punto B en el instante t_B, están dadas por las ecuaciones siguientes:

p1(xB,tB)dxB = *(xB,tB) Ψ(xB,tB)dxB	……………(4)
pt(xB,tB)dxB = *(xB,tB) (xB,tB)dxB

Suponiendo que se repiten estas mediciones un número estadísticamente aceptable y bajo las mismas condiciones de manera que usando el promedio de valores x_B y de t_B se tiene:

= *(xB,tB)xB (xB,tB)dxB	……………(5)
= *(xB,tB)xB (xB,tB)dxB

Es conveniente escribir las expresiones x_A y x_B para del modo siguiente:

= *(xA,tA) 2dxA	……………(6)
= xB p1(xB,tB) 2dxB

Donde p₁(x_A,t_A) ² y p₁(x_B,t_B)² son las probabilidades por unidad de longitud cuyas fluctuaciones cuadradas medias están definidas por las expresiones:

A = 2(xA-)2(p1(xA,tA)2dxA	……………(7)
B = 2(xB-)2(p1(xB,tB)2dxB

De manera análoga se tiene para t_A, t_B los valores siguientes:

A = tA(pt(xA,tA)2dtA	……………(8)
B = tB(pt(xB,tB)2dtB

Donde p₁(x_A,t_A) ² y p₁(x_B,t_B)² son las probabilidades por unidad de tiempo de que la partícula asociada a la onda se encuentre primero en el punto A y después en B cuyas fluctuaciones cuadradas medias en el tiempo son:

A = 2(tA-A)2(pt(xA,tA)2dtA	……………(9)
B = 2(tB-B)2(pt(xB,tB)2dtB

Las ecuaciones (6) y (7) así como la (8) y (9) se pueden escribir en forma general:

=x(p1(x,t)2dx	……………(10)
=t(pt(x,t)2dt

= 2(x-)2(p1(x,t)2dx	……………(11)
= 2(t-)2(pt(x,t)2dt

Es conveniente introducir la notación siguiente:

X = x –

T = t –

Con esta, las ecuaciones (11) se escriben así:

= 2X2(p1(X)2dX	……………(12)
=2(T2(pt(T)2dT

Las probabilidades por unidad de longitud de tiempo, conviene relacionarlas de la manera siguiente:

p1(A) =p1(A)M*(A)dxA	……………(13)
pt(A) = pt(A)M(A)dtA

p1(B) = p1(B)M*(B)dxB	……………(14)
pt(B) = pt(B)M(B)dxB

Donde M( ) es la matriz de la trasformación, y M*( ) la matriz conjugada.

Ahora, considerando el problema general de transformar cualquier función F(x,t) a la forma diagonal por una trasformación unitaria M se tiene:

M^-1 FM = F’ d (F’ – F”) donde F’ y F” son los índices en el sistema donde F es diagonal.

La expresión anterior se puede escribir así:

FM = M[F’d (F’ – F”)], o también del modo siguiente:

F(x’,x”)M(x”,F’)dx” = M(x’F’)F’

.: F(x’,x”)M(x”,F’)dx = F[K(d /d x’), x’]d (x’F’) …….(15)

Aplicando estos resultados a las expresiones (13) y (14) respectivamente resulta:

F(x’x”)M(x”t’)dx” = M(x’t”)F(t”t’)dt”

Esta expresión por la ecuación (15) es equivalente a la ecuación siguiente:

K{[M(x’t’)]/x’} = t’M(x’t’)

resolviendo esta ecuación diferencial para M se obtiene:

M = Ce^kt’x’ ………………………..(16)

Donde k es una constante, y C es una constante de normalización.

De acuerdo a la ecuación (16) las ecuaciones (13) y (14) se escriben en la forma:

p1(x) = C pt(t)e–kxtdx	……………(17)
p1(t) = C p1(t)ekxtdt

Usando las ecuaciones (16) y (17) y por operaciones sencillas se llega a la expresión para (D x)²:

k2x / p1(X) + dp1 / X 2 0	……………(18)
-h2X2 /
:. p1(X) = De

Análogamente se tiene para (D x)² tal que:

½ = k² dp₁ / dX ² dT

por cálculos sencillos se llega a la expresión:

k²T² / p_t(T) – dp_t / T ² 0

esta expresión se transforma en la ecuación:

-k2T2 /	………………..(19)
pt(T) = Ee

Finalmente se tienen las ecuaciones siguientes:
-k²X² /

p1(X) = De	……………(20)
k2T2 /
pt(T) = Ee

En las ecuaciones (20) D y E son constantes y dichas expresiones muestran la simetría de las cosas, en este caso la probabilidad por unidad de longitud y probabilidad por unidad de tiempo en Mecánica Cuántica. Muestra también que las probabilidades por unidad de longitud y por unidad de tiempo, son probabilidades de distribución; en otras palabras, el Espacio y el Tiempo en Mecánica Cuántica son probabilidades de distribución; en otras palabras, el Espacio y el Tiempo en Mecánica Cuántica son probabilidades de distribución.

Ahora bien, para calcular las probabilidades de distribución de velocidades de las partículas asociadas a ondas que parten del punto A y llegan al punto B y para ser congruentes con el principio de causalidad en Mecánica Cuántica, se considera un paquete de partículas asociadas a ondas.

Obviamente tal paquete no tiene la misma velocidad, porque se estorban unas a otras y el haz central y el de sus alrededores tienen velocidades y energías distintas, entonces hay una probabilidad P( / ²) de distribución de valores cuadrados medios de velocidades ² del haz de partículas asociadas a ondas tal que:

x2 = ² t²

Claramente esta relación no es congruente con la Ley de la Relatividad Especial de Einstein. Sin embargo, para eliminar esta situación asimétrica se Introduce la variante:

dt en lugar del tiempo diferencial dt

Tomando en cuenta estas verdades, la ecuación de la probabilidad de distribución de velocidades del haz de partículas asociadas a ondas en términos del cociente de probabilidad de distribución por unidad de longitud y por unidad de tiempo resulta:

P(²) = [P₁(x) / P_t(t)]

-k2X2 /	k2T2 /	…………….(21)
:. P(v2) = (D/E) e	e

Esta es la Ley de probabilidades de Distribución de Velocidades en este Espacio Tiempo.

Como se ha visto en este trabajo, en Mecánica Cuántica la Matemática lo que ha ganado en seguridad, lo ha perdido en objetividad, alejándose de la realidad y, es así como la Matemática ha adquirido esta pureza perfecta.