MEDICION DEL COEFICIENTE DE ATENUACION LINEAL DE TEJIDO EN ESPESORES HUMANOS INHOMOGENEOS

INTRODUCCIÓN

El uso de las características de absorción de la radiación Gamma de fuentes radiactivas como Cobalto-60 y Cesio-137 para medir coeficientes de atenuación lineal, son ampliamente usados en los cálculos de las dosis a profundidad para campos de forma irregular; es decir, superficies no llanas, tales como campos grandes en el tratamiento de la enfermedad de Hodgkin, en el cáncer cérvico-uterino y cáncer en matriz, son complejos y usualmente son acompañados por aproximaciones corroboradas por mediciones en maniquíes. Dichos maniquíes generalmente son simuladores de contornos, de espesores humanos y se construyen de materiales cuyo coeficiente de atenuación lineal sea del mismo orden del que tiene el agua, o del tejido humano.

El principio del método depende mucho sobre la gran absorción de la radicación Gamma por los átomos de azufre que por los átomos de oxígeno e hidrógeno que contienen las moléculas de agua y movimientos de los órganos vivos del organismo humano, por eso es que para pequeños cambios de azufre, causa un cambio relativamente grande en la intensidad transmitida.

Los cambios en la masa de espesores humanos dará un cambio en la intensidad de la radiación detectada por la cámara de ionización, por consiguiente, habrá una indicación de las densidades de espesores humanos ya que éstos como es conocido, contienen un 70% de agua; pero también hay regiones de aire, hueso y moléculas de otras sustancias, donde al considerar las contribuciones de estos componentes, difícilmente y con rigor se afirma absolutamente que para los cálculos irregulares para los cuales las curvas de isodosis no existen.

Como en la molécula de agua, el oxígeno y el hidrógeno que son sus componentes también afectan la absorción de la radiación, pero la razón oxígeno/hidrógeno es esencialmente de efectos constantes.

El nitrógeno está presente en cantidades normales; pero tiene un efecto muy pequeño en la absorción de la radiación Gamma.

Por otra parte se sabe que bajo condiciones óptimas, la relación del coeficiente de absorción másico a la energía de la radiación y al número atómico del absorbedor para fuentes de Cs-137 y Co60 son sensiblemente independientes de la variación en el número atómico del material bajo consideración en un amplio rango. Todo esto me hizo sospechar, de que aquí con ayuda de una “buena geometría” y de los métodos estadísticos, se podría llegar a resultados importantes desde el punto de vista de dosimetría de radiación. Desistiendo desde luego, de toda otra justificación para presentar al público este trabajo, paso directamente a exponer el camino por el que ha llegado paso a paso, a los resultados que aquí expongo.

EQUIPO USADO

En el desarrollo experimental de este trabajo se utilizó básicamente una unidad de Cobalto-60 con fuente radiactiva de 918 Ci, una cámara de ionización sellada especialmente para radiación gamma y bloques de plomo con orificio para volver a colimar el haz de radiación antes de incidir sobre la cámara de ionización.

GEOMETRIA DEL ARREGLO FUENTE-CAMARA

La posición relativa entre la fuente y la cámara de ionización se mantuvo constante durante todas las mediciones y los espesores fueron cambiando de uno en uno.

La colimación del haz de radiación se hizo tanto en la salida del colimador del cabezal de la unidad, como a la entrada de la cámara de ionización mediante orificios en bloques de plomo.

La alineación del haz de radiación en los orificios de colimación fuente-cámara, se hizo mediante la incidencia de los centros de los haces de luz, uno que proviene del centrador luminoso del colimador del cabezal de la unidad; y el otro, del haz que proviene del escudo de dicha unidad, tal como se indica en la figura 1.

Si se tiene un experimento de “buena geometría”, el análisis será el siguiente:

Sea:
x = espesor del aire atravesado () por el haz de radiación gamma
y = espesor de la camilla de la unidad () donde se acuesta el paciente
z = espesor del tejido humano () del paciente

En esta geometría cualquier fotón que tiene una interacción ya sea por Efecto Fotoeléctrico, Efecto Compton o Producción de Pares y es sacado fuera del haz de radiación, no vuelve a entrar a éste. En estas condiciones la absorción de la radiación gamma obedece la Ley de Atenuación Exponencial de Beer-Lambert, de modo que para un haz de radiación colimado y de “buena geometría” esta Ley se escribe matemáticamente así:

I =

Donde
= coeficiente de atenuación lineal del tejido humano
x = espesor lineal de la muestra
I0 = Intensidad de la radiación con cero muestra
I = intensidad de la radiación correspondiente al absorbedor x.

De acuerdo con esto resulta:

I₁/I₀ = e^{-m ax}; I₂/I₁ =; I₃/I₂ =

de donde se obtiene:

i₃ = i₃ (fotones/seg)

donde ε es la eficiencia de conteo. Esta eficiencia contiene factores geométricos de detección…etc. Por lo tanto se tiene:

i₃/i₀ = ……………. (1)

El método seguido en el experimento fue el siguiente: para un material M de interés se observó el valor de i₃ sin M y se repitió adicionando el espesor o material M. Cada determinación de i₃ involucró 5 mediciones para obtener un promedio de i₃ que es

De la primera observación de en la cual z = 0 o sea sin muestra, se obtiene:

((z=0)) / I₀ = ………….. (2)

dividiendo la ecuación (1) entre la ecuación (2) se obtiene:

/ ((z=0)) = ………….. (3)

ni la geometría ni las características de operación fueron cambiadas entre una y otra observación (medición). La ecuación (3) se puede escribir así:

= log [((z=0)) / (z)]

graficando el log [((z=0)) / i3(z)] en función de z, se obtiene una línea recta cuya pendiente es igual a m _t osea el coeficiente de atenuación lineal de espesores humanos.

METODO EXPERIMENTAL

Se escogió un grupo de 20 pacientes, todos ellos mujeres con cáncer de matriz. Las dimensiones en AP se tomaron en la zona donde se dan los campos de tratamiento, técnicas de campos opuestos; muchas de las medidas en AP se repitieron en los pacientes a grado de que solamente para los cálculos se tomaron en seis medidas diferentes.

Las mediciones se hicieron inmediatamente después del tratamiento diariamente programado (a cada paciente), pero reduciendo el campo original aún el campo de 5 x 5 cm² y colimándolo sin mover al paciente. El tiempo que duró la medición a manera de que el paciente no recibiera una dosis mayor que la dosis diaria por tratamiento.

Esto se repitió de paciente a paciente sin alterar la geometría del arreglo y colimación fuente-cámara. Todas las mediciones se hicieron el mismo día.

En las mediciones que se hicieron en espesores humanos inhomogéneos, se obtuvieron los valores experimentales siguientes:

La gráfica que resulta de los valores experimentales de esta tabla es la que da la pendiente, la cual es igual al coeficiente de atenuación lineal m _t de tejido humano inhomogéneo.

Graficando los valores de log [((z=0)) / (z)] y espesores z en centímetros resulta:

 

 

EL VALOR DE POR EL ANALISIS DE MINIMOS CUADRADOS

Para darle precisión y vigor al valor del coeficiente de atenuación lineal de tejido humano inhomogéneo m _t obtenido experimentalmente a través del estudio matemático por el análisis de mínimos cuadrados, se procede de la manera siguiente:

Si se tiene la variable dependiente y₁, y₂, y₃… y_i en función de la variable independiente x₁, x₂, x₃… x_i y suponiendo y que la incertidumbre o error en x es insignificante en comparación con la y, podemos tener una línea recta que pasa por los puntos (x_i , y_i), esto es:

en este caso se tiene que:

pero aquí se añade la restricción de que la línea debe pasar por el punto (0,0), es decir, que la intersección de la ordenada debe ser cero, esto es:

\ a – b= 0

\ b = a/

Debido a que ya se ha usado el primer punto, x = 0, y = 0;
siendo los datos x=z, y=log[((z=0)) / i₃(z)]
entonces como se tienen 7 puntos resulta:

Estos valores se sustituyen en la ecuación de la recta, tal que:

y = 0.0628 x

pero aquí se añade la restricción de que la línea debe pasar por el punto (0,0), es decir, que la intersección de la ordenada debe ser cero, esto es:

a – b = 0

b = a/

Debido a que ya se ha usado el primer punto, x = 0, y = 0;

x=z, y=log [((z=0)) / i₃(z)]

entonces como se tienen 7 puntos resulta:

 

Estos valores se sustituyen en la ecuación de la recta, tal que:

y = 0.0628 x

donde la pendiente de la recta es el coeficiente de atenuación lineal de tejido humano inhomogéneo m _t, es decir:

0.628 cm^-1

 

Z	ñ/min = i	=
0	5.85	2.41
16	2.40	1.54
17	2.00	1.41
18	1.84	1.35
19	1.72	1.31
20	1.57	1.25
22	1.44	1.20

Esto es aplicable cuando el error es puramente estadístico y 1_Co-60t1 donde t es el tiempo de conteo igual a un minuto

Aquí 1t = 2.6 x 10^-7

1. Ya que cada valor de es un promedio de cinco mediciones, se calcula una σ.

 

2.46

Si se calculan los valores de para z=16, 17, 18, 19, 20 y 22 se encuentra que todas las son aproximadamente del mismo orden. Si se comparan el método a) y el método b) se ve que se obtienen el mismo orden de:

ERROR EN log [((z=0)) / (z) = y

Aquí (z=0) es una constante igual a C.

y = log (C / (z))

Derivando esta expresión resulta:

dy = d(log (C / (z)) = [(d(C / (z))) / (C/)]

=/C dC/ – C/² di = dC/C – d/i

D y = [D C/C] + [(D )/]

EL ERROR DE LA COORDENADA y ES ± y

y = [( ₃ (z=0)) / ₃(z=0))] + [ (z) / (z)]

Los valores de las i para usarse serán los calculados en el inciso a).

En la gráfica se tiene y ± D y en función de x, donde:

y = log [((z=0)) / (z)], x=z

ERROR EN

El valor de m _t obtenido de la pendiente de la línea recta y = 0.06289z obtenida por un análisis de mínimos cuadrados. La variante de la pendiente (b) está dada por:

Notar que al restringir que la línea recta pase por el punto (00) se reduce el número de grados de libertad de n-2 a n-3
como x = 18.66, Y = 0.0628x

Calculando los valores (yi) y resultan:

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones correspondientes de la recta tal que el valor de m _t es:

Es el valor y error obtenido para el coeficiente de atenuación lineal de espesores humanos inhomogéneos por el análisis de mínimos cuadrados.

* Espero tener el perdón que os pido por atreverme a obtener el valor del coeficiente de atenuación lineal de tejido humano inhomogéneo por el método que usé. Lo hice a nombre de la ciencia. Y, es ético porque era necesario obtener el valor experimental para los cálculos en dosimetría de radiación en el tratamiento de la enfermedad del cáncer.

MEDICIÓN EXPERIMENTAL DEL COEFICIENTE DE ABSORCIÓN LINEAL DEL AGUA

Para obtener el valor experimental de la m _a se procedió de la misma manera en que se obtuvo el valor de m _t sólo que se usó una caja de lucita con 10 compartimientos de diferentes anchuras y se fueron llenando uno a uno con agua destilada.

El valor obtenido para el coeficiente de atenuación lineal m _a del agua fue el siguiente:

_agua = 0.05707

Tomando la relación de los coeficientes resulta:

( / _agua) = 0.0628 cm^-1 / 0.0570 cm^-1 = 1.10

donde 1.10 es el factor por el cual debe multiplicarse el _agua para extrapolar a tejido humano inhomogéneo vivo

CONCLUSIONES

En conclusión deseo decir, que el coeficiente de absorción lineal del tejido humano inhomogéneo vivo, para usos prácticos en dosimetría de radiación es influenciado por el cambio de densidades de las sustancias, tejido, hueso y agua que constituyen el estado de agregación del organismo humano, así como por la temperatura y los efectos del movimiento de las estructuras internas de un organismo vivo. Este hecho importante, es un viejo problema en Radioterapia y es ignorado. Dicho efecto hace que la dosis a profundidad sea más baja que la dosis calculada a partir de las curvas de isodosis obtenidas para agua. Y , digo dosis calculada porque calcular no es lo mismo que analizar.